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Upaya lain dilakukan oleh Euler , de Foncenex , Lagrange , dan Laplace Dalam istilah modern, Euler, de Foncenex, Lagrange, dan Laplace mengasumsikan adanya bidang pemisah dari polinomial p z.

Pada akhir abad ke, dua bukti baru diterbitkan yang tidak mengasumsikan keberadaan akar, tetapi tidak ada yang lengkap.

Salah satunya, karena James Wood dan terutama aljabar, diterbitkan pada tahun dan itu sama sekali diabaikan. Bukti Wood memiliki celah aljabar.

Gauss menghasilkan dua bukti lain pada tahun dan versi lain yang tidak lengkap dari bukti aslinya pada tahun Isinya bukti Argand, meskipun Argand tidak dikreditkan untuk itu.

Tak satu pun dari bukti yang disebutkan sejauh ini adalah konstruktif. Weierstrass yang membesarkan untuk pertama kalinya, di pertengahan abad ke, masalah menemukan bukti konstruktif dari teorema dasar aljabar.

Dia mempresentasikan solusinya, yang jumlahnya dalam istilah modern menjadi kombinasi metode Durand—Kerner dengan prinsip kelanjutan homotopi , pada tahun Bukti lain seperti ini diperoleh Hellmuth Kneser pada tahun dan disederhanakan oleh putranya Martin Kneser pada tahun Tanpa menggunakan pilihan terhitung , tidaklah mungkin untuk membuktikan secara konstruktif teorema dasar aljabar untuk bilangan kompleks berdasarkan konstruksi bilangan riil yang secara konstruktif tidak setara dengan bilangan real Cauchy tanpa pilihan yang dapat dihitung.

Semua bukti di bawah ini melibatkan beberapa analisis matematika , atau setidaknya konsep topologi dari kontinuitas dari fungsi nyata atau kompleks.

Beberapa juga menggunakan fungsi terdiferensiasi atau bahkan analitik. This fact has led to the remark bahwa Teorema Dasar Aljabar bukanlah teorema fundamental, juga bukan teorema aljabar.

Beberapa bukti teorema hanya membuktikan bahwa polinomial tak konstan apapun dengan koefisien riil memiliki akar yang kompleks.

Ini cukup untuk membangun teorema dalam kasus umum karena, diberikan polinomial non-konstan p z dengan koefisien kompleks, polinomial.

Sejumlah besar bukti teorema non-aljabar menggunakan fakta kadang-kadang disebut "lemma pertumbuhan" bahwa fungsi polinomial derajat ke- n - p z yang koefisien dominannya adalah 1 berperilaku li z n dimana z adalah nilai besar.

Pernyataan yang lebih tepat adalah: ada bilangan real positif R sedemikian rupa sehingga:. Minimum p z di D , yang harus ada karena D adalah kompak , oleh karena itu tercapai di beberapa titik z 0 di bagian dalam D , tetapi tidak di titik mana pun dari batasnya.

In other words, z 0 is a zero of p z. Variasi dari bukti ini tidak memerlukan penggunaan prinsip modulus maksimum pada kenyataannya, argumen yang sama dengan perubahan kecil juga memberikan bukti prinsip modulus maksimum untuk fungsi holomorfik.

Dan lagi pembuktian analitik menggunakan prinsip argumen. Misalkan R adalah bilangan real positif yang cukup besar sehingga setiap akar p z memiliki nilai absolut lebih kecil dari R ; angka seperti itu harus ada karena setiap fungsi polinomial tak konstan dari derajat n memiliki paling banyak n nol.

Namun perbedaan antara kedua angka tersebut adalah. Masih lagi bukti analitik kompleks dapat diberikan dengan menggabungkan aljabar linier dengan Teorema Cauchy.

Asumsikan A tidak memiliki nilai eigen. Pertimbangkan fungsi resolvent. Misalkan minimal p z di seluruh bidang kompleks dicapai di z 0 ; Hal ini terlihat pada bukti yang menggunakan teorema Liouville bahwa bilangan seperti itu pasti ada.

Bukti Teorema Fundamental Aljabar ini harus menggunakan dua fakta berikut tentang bilangan real yang bukan aljabar tetapi hanya memerlukan sedikit analisis lebih tepatnya, teorema nilai menengah dalam kedua kasus :.

Fakta kedua, bersama dengan rumus kuadrat , menyiratkan teorema untuk polinomial kuadrat nyata. Seperti disebutkan di atas, cukup untuk memeriksa pernyataan "setiap polinomial tidak konstan p z dengan koefisien real memiliki akar kompleks".

Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan induksi pada bilangan bulat non-negatif terbesar k sedemikian rupa 2 k membagi derajat n dengan p z.

Maka a menjadi koefisien z n pafa p z dan jika F menjadi bidang pemisahan dari p z over C ; dengan kata lain, field F berisi C dan ada elemen z 1 , z 2 , Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas.

Belum Diperiksa. Ada yang menggemukan bahwa terdapat harapan bahwa pada suatu saat postulat tersebut dapat dibuktikan.

Teorema merupakan suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan pembuktian serta pernyataanya dapat ditunjukkan nilai kebenarannya atau juga bernilai benar.

Dalil theorem tersebut biasanya digunakan pada matematika, hukum pada ilmu alam. Hubungan tetap di antara besaran.

Teorema merupakan suatu pernyataan hubungan definisi dengan definisi lainnya. Contoh: Teorema Pythagoras yang menyatakan hubungan ke-3 sisi segitika siku-siku, Teorema Langrange tersebut menyatakan hubungan grup hingga dengan subgrup-nya.

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